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過敏的人兒有長長的睫毛?關於睫毛の奇妙研究

Chiang Wei-Lun
・2020/10/14 ・2287字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 567 ・九年級

TAAi 2020 25th 人工智慧研討會

長年來,醫學界流傳著「過敏兒,擁有更長的睫毛」的傳說。如今,科學家終於證實了⋯⋯ [1]

過敏的人兒有長長的睫毛?

過敏兒の纖長睫毛

早在 1977 年,就有醫師發現,「長長的睫毛」似乎是過敏兒的表徵 [2][註1]。直至近年,印度科學家徵招了一群志願者,來了解此都市傳說,是真是假?

科學家找了約 80 名過敏體質和約 170 名無過敏體質的兒童、青少年;他們的性別、年齡之間已進行遴選,可互相對照。過敏體質者被診斷為常年性過敏性鼻炎,歸因於屋內塵蟎。結果如下表 1 :

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睫毛長度(毫米/mm)
過敏組對照組 (無過敏)p值
男孩9.26 ± 1.18.44 ± 1.80.005
女孩8.97 ± 1.47.9 ± 1.50.0261
表1:不同性別的過敏和控制組兒童,睫毛長度之比較

觀察表 1 可知,不分男女,過敏孩童的睫毛,明顯比非過敏對照組的睫毛更長 [註2]

猜猜看,纖長睫毛的原因

過敏兒擁有更纖長的睫毛,原因尚無定論。推測可能和前列腺素 (prostaglandins) 有關 [1]前列腺素已被證明,能將毛囊從休止期轉變為生長期;甚至在2009年,美國食品藥物監督管理局 (Food and Drug Administration /FDA) 批准用前列腺素藥物治療睫毛毛髮過少的患者 [3]。而過敏性鼻炎患者的鼻黏膜中,存在大量的肥大細胞,可釋放組織胺 (histamine) ,前列腺素和白三烯 (leukotrienes) 等激素 [1],可能會刺激睫毛毛囊重新回到生長期,讓過敏兒擁有纖長的眼睫毛(亂想:那禿髮的症狀也可以用前列腺素藥物治療嗎?)。

長長的睫毛令人覺得更美。But,睫毛和眼睛之間,似乎有個「完美比例」。咦,多少呢? [4-7]

睫毛和眼睛的最佳比例?

睫毛能阻擋外來物侵入眼睛、降低淚水蒸發的能力。而搞笑諾貝爾獎得主—胡立德 (David L. Hu) 團隊發現 [註3],哺乳動物的睫毛長度 (L) 、眼睛寬度的比例 (W) ,似乎呈現線性關係;此比例大約是 0.34 (L/W= 0.34) 。

咦,為什麼?

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不同哺乳動物眼睛寬度和睫毛長度的比例。圖/ref_6

睫毛越長保護力越好嗎?

以假睫毛模擬不同長度對阻擋外來物、降低蒸發的能力,結果如何呢?

胡立德團隊利用人造睫毛、風洞、電腦模擬,量測睫毛對減緩水分蒸發、阻擋灰塵的保護能力,結構如下圖。

左、中圖:哺乳動物的眼睛和睫毛。右圖:電腦模擬之人造睫毛。圖/ref_6
上圖:風洞實驗設計。下圖:利用螢光水滴,模擬人造睫毛阻擋外來入滴入眼睛的實驗示意。L/W指睫毛長度和眼睛寬度的比值。圖/ref_6

利用上述的風洞設計,科學家滴入直徑約 10μm 的螢光水滴,判斷不同長度比例的睫毛阻擋外來入侵入眼睛的能力。結果如下圖,睫毛並非越長越好,最佳的阻擋效果出現在 L/W= 0.25±0.15 範圍。

橫軸:不同睫毛長度和眼睛寬度的比值 (L/W) 。縱軸:螢光強度變化,亦可代表外來物進入眼睛的多寡。圖/ref_6

而在降低眼睛表面的水分蒸發率方面,也出現類似的結果 (為了簡化實驗變因,實驗團隊此處使用網格模擬睫毛,請參考下圖) 。

結果如下圖,睫毛並非越長越好,最佳的減緩蒸發速率出現在 L/W= 0.3±0.1 範圍。

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橫軸:不同睫毛長度和眼睛寬度的比值 (L/W) 。縱軸:蒸發率,亦可代表外來物進入眼睛的多寡。圖/ ref_6

綜上所述,最佳的睫毛和眼睛比例約在 1/3 左右。團隊認為,也許未來可在難以清潔的物質上,思考這種「能自我清潔」的設計

也許未來某一天,我們會看到太陽能板、高樓玻璃等,都戴上了長長的「人造睫毛」呢!

註解

1:該文章亦將黑眼圈、眼袋等視為過敏病症的特徵。

2:若同屬於過敏組,或同屬於不過敏組裡,男孩和女孩間的睫毛長度,統計上俱無差異。

3:該團隊以「哺乳動物排尿時間的對數值,及動物的體重,兩者間有線性關係」及「袋熊如何?及為何製作立方體狀的糞便?」獲得 2015 和 2019 年搞笑諾貝爾獎。

參考資料

  1. Mehak Singh & Manoj Pawar (2018) Eyelash length for the diagnosis of atopic dermatitis and ichthyosis vulgaris in children—a case control study. European Journal of Pediatrics.
  2. M B Marks (1977) Recognizing the allergic person. American Family Physician, 01 Jul 1977, 16(1):72-79
  3. Sandeep Kaur and Bharat Bhushan Mahajan (2015) Eyelash Trichomegaly. Indian Journal of Dermatology.
  4. David L. Hu、羅亞琪 (2020) 破解動物忍術:如何水上行走與飛簷走壁?動物運動與未來的機器人。三民。
  5. Guillermo J. Amador, David L. Hu (2015) Cleanliness is next to godliness: mechanisms for staying clean. Journal of Experimental Biology.
  6. Guillermo J. Amador, Wenbin Mao, Peter DeMercurio, Carmen Montero, Joel Clewis, Alexander Alexeev and David L. Hu (2015) Eyelashes divert airflow to protect the eye. Journal of The Royal Society Interface.
  7. Siyu Zou, Jinping Zha, Jie Xiao and Xiao Dong Chen (2019) How eyelashes can protect the eye through inhibiting ocular water evaporation: a chemical engineering perspective. Journal of The Royal Society Interface.
文章難易度
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Chiang Wei-Lun
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蔣維倫。喜歡虎斑、橘子、白底虎斑、三花貓。曾意外地先後收集到台、清、交三間學校的畢業證書。泛科學PanSci專欄作家、故事專欄作家、udn鳴人堂專欄作家、前國衛院衛生福利政策研究學者。 文章作品:https://stage.pansci.asia/archives/author/miss9 https://www.newsmarket.com.tw/blog/author/miss9ch/
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狗狗因為食物過敏而搔癢不舒服,為什麼做「過敏原檢測」沒什麼用?
活躍星系核
・2020/09/02 ・1416字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 442 ・四年級

TAAi 2020 25th 人工智慧研討會

沒有共識的過敏研究

研究竟然沒有共識嗎?圖/giphy

獸醫皮膚期刊曾經發表一篇研究,將 10 隻經過診斷異位性皮膚炎狗兒的血清送往美國四間不同的實驗室,針對各種抗原的血清抗體(IgE)進行檢測(分別是 ACTT®, VARL Liquid Gold, ALLERCEPT® and Greer® 以及 Aller-g-complete® 這四家大型實驗室)。

結果得到四份完全不同的結果,綜合來看沒有任何兩間實驗室的結果具有一致性,悲劇。

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同樣的期刊發表的研究,抽取 8 隻確診罹患食物過敏狗、22 隻非食物誘發過敏的狗、30 隻無法區分的過敏狗、12 隻罹患其他皮膚病的狗和 9 隻完全健康狗的血清送到兩間不同的實驗室,進行食物特異性的抗體 (IgE 和 IgG)力價檢測。

不但兩間實驗室的結果不具一致性,而且檢測結果也沒辦法與疾病分組相符合,慘上加慘。

圖/Lisa Tsai

去年獸醫期刊發表的研究,檢驗三組狗兒(第一組:11 隻吃水解蛋白與過敏原再刺激試驗、診斷為食物過敏的狗,第二組:15 隻非食物引起、但仍有皮膚過敏的狗,以及第三組:健康的狗)血清與唾液中針對食物特異性的抗體(包含 IgA 和 IgM)。

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發現無論是檢測唾液的 IgM 或 IgA ,還是血清的 IgE 都沒辦法區分是不是有食物不良反應或是過敏。

那麼寵物食物過敏該怎麼辦?

我的!我的!都我的!吃下去就對了(?)圖/giphy

好多文獻都顯示過敏原檢測的再現性有夠差,要診斷食物過敏,還是得執行食物再刺激試驗

也就是當你排除了各種感染、接觸史,懷疑是食物過敏的話,就讓狗狗只吃水解蛋白等低過敏的飼料,是只吃哦,意思是其他零食什麼的都不能吃到或沾到,維持長達 8 週以上。直到皮膚狀況改善,再讓牠吃疑似過敏的食物(再刺激)來診斷。

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我記得我曾經跟會例行做過敏原檢測的獸醫聊過,他表示抽血就能做這個檢查是 Do no harm,也就是反正抽個血就能驗,又不會少塊肉。

但若是飼主遵從過敏原檢查的結果,往錯誤的方向進行治療,反而導致皮膚病越來越嚴重怎麼辦?如果飼主因為花了很多錢做了檢驗,導致不再有信心去做抗原再刺激試驗這種真的有用的測試,導致寵物得吃大半輩子的藥、過敏反反覆覆,那還叫 Do no harm 嗎?

過敏原檢測的用處,是針對環境過敏原減敏治療(檢測正確的前提下)作為一種治療方式。所以假使你帶著你的狗到動物醫院,獸醫懷疑過敏就馬上跟你說:「哦哦那可以來驗一下過敏原哦,這樣才知道要避開什麼食物哦」。那麼請你先抱起你的狗,小步、小步地後退,直到完全退出動物醫院的大門。

參考資料

  1. Plant, J. D., Neradelik, M. B., Polissar, N. L., Fadok, V. A., & Scott, B. A. (2014). Agreement between allergen‐specific IgE assays and ensuing immunotherapy recommendations from four commercial laboratories in the USA. Veterinary dermatology25(1), 15-e6.
  2. Hardy, J. I., Hendricks, A., Loeffler, A., Chang, Y. M., Verheyen, K. L., Garden, O. A., & Bond, R. (2014). Food‐specific serum I g E and I g G reactivity in dogs with and without skin disease: lack of correlation between laboratories. Veterinary dermatology25(5), 447-e70.
  3. Vovk, L. U., Watson, A., Dodds, W. J., Klinger, C. J., Classen, J., & Mueller, R. S. (2019). Testing for food-specific antibodies in saliva and blood of food allergic and healthy dogs. The Veterinary Journal245, 1-6.
  4. Mueller, R. S., & Olivry, T. (2017). Critically appraised topic on adverse food reactions of companion animals (4): can we diagnose adverse food reactions in dogs and cats with in vivo or in vitro tests?BMC veterinary research13(1), 275.

本文轉載自 FB專頁 獸醫好想告訴你

  • 編按:原本標題有所誤植,已修改(2020/9/3)
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活躍星系核
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活躍星系核(active galactic nucleus, AGN)是一類中央核區活動性很強的河外星系。這些星系比普通星系活躍,在從無線電波到伽瑪射線的全波段裡都發出很強的電磁輻射。 本帳號發表來自各方的投稿。附有資料出處的科學好文,都歡迎你來投稿喔。 Email: contact@pansci.asia

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過動症只是表象,可能與過敏、貧血、營養有關?可能從飲食和生活型態改變嗎?
研之有物│中央研究院
・2019/12/11 ・4162字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 517 ・六年級

TAAi 2020 25th 人工智慧研討會

本文轉載自中央研究院研之有物,泛科學為宣傳推廣執行單位

  • 採訪編輯|歐宇甜、美術編輯|林洵安

近年來,台灣的過動兒越來越多。中研院生醫所潘文涵特聘研究員,兒子從小有過動問題,累積多年照護經驗與調查研究,發現過動症與過敏、貧血和血清素偏低等因素密切相關。

過動症,全名為「注意力不集中過動症」(attention deficit hyperactivity disorder,縮寫為 ADHD),主要症狀是注意力不集中、過動和情緒控制(衝動)問題。

目前醫學界認為促成過動症的危險因子包括遺傳、難產及多種原因造成的腦傷等,主要機制為神經傳導物質(多巴胺、腎上腺素)分泌異常,影響前額葉對於衝動的抑制能力。

但,過動兒的致病因子真的只有這些嗎?是否有其他可控制的病因,也可能會引發或加重過動的症狀?中研院生醫所潘文涵特聘研究員提出假設:許多過動症狀可能與過敏、貧血和營養不良有關,若是,則可能從飲食和生活型態改變得到修正。

一般小孩可能很活潑、動來動去,但如果願意,還是可以安靜下來專注在同一件事上。過動症則是一種精神性疾病,病患的注意力不集中、活動力很強,而且無法自我控制。目前常用治療方法是服藥,搭配行為療法、心理諮商或感覺統合訓練。
圖片來源│iStock

過動症可修正因子:過敏、貧血、血清素過低?

為了確認自己的假設,潘文涵和台大、長庚、北醫等研究團隊,前往台北市 31 間小學進行調查。

研究員由各班老師幫助,尋找有意願協助調查的過動症學童和父母簽同意書,經小兒精神科醫生確診後,一方面抽血,取得孩子血液中的各種營養素以及與過敏相關的數據,另一方面請家長填寫家庭狀況、小孩過敏狀況和飲食習慣問卷。

實驗也建立了對照組,找出與上述過動孩童相同身高、體重、性別、年齡,但沒有過動的同學,進行相同的檢查和問卷調查,以排除上述因素干擾,最後招募到 216 名的過動孩童和相對應的 216 名一般孩童對照組進行比較。

圖說設計 │黃曉君、林洵安

結果顯示:過敏疾病、貧血、血清素較低、嗜酸性粒細胞和免疫球蛋白較高(後面兩種與過敏有關),這四個因素都與過動症有關。當學童具有兩種以上過敏症狀(鼻炎、濕疹、氣喘),罹患過動症的風險是沒有過敏小孩的 2~3 倍,四種因素都有的孩子,罹患過動症的機率更高達 6~7 倍!

由此推測,過動症應該涉及了多重原因,也可能四項因素與過動症具有共同的前端成因。

圖(a):過敏症狀為鼻炎、濕疹、氣喘,症狀越多,罹患過動症風險越高。
圖(b):臨床危險因子為貧血、血清素低、嗜酸性粒細胞低、免疫球蛋白高,症狀越多,罹患過動症的風險越高。
資料來源│潘文涵
圖說重製│林洵安

NG食物=>營養不良=>過動?

調查結果顯示:過動症兒童血液中的維生素 B 群、礦物質鐵/磷比偏低,飲食上則明顯較少攝取蔬菜、水果、蛋白質類營養食物,比較喜歡吃高糖及高油類的 NG 食物。食物不當是否可能是過動的源頭呢?

因此下一步,就是找出這些因子與過動症的關聯!但這麼多變數誰與誰相關,誰影響了誰,誰是因、誰是果,關係非常複雜。研究團隊於是使用路徑分析法 (Path analysis),可以估計所有變數的相互關係。方法是:先假設一個因果性的模型「吃的食物會影響到血液和血液中的營養素,進而引發ADHD」,然後使用調查資料,驗證上述模型。

路徑分析結果支持:不良的營養生化狀況以及過動症導因於不健康的飲食型態。換句話說,不健康的飲食很可能是不良的營養生化狀況的前因;而不良的營養生化狀況則是過敏過動之前因。

以「快樂荷爾蒙」血清素為例,人體要合成血清素,需要維生素 B 群和鐵為輔媒,如果這類營養素攝取不夠,體內血清素濃度偏低,可能會增加過動風險。反之,如果過動症孩童能夠建立良好的飲食習慣,維持良好的營養生化狀態,就可能維持正常血清素濃度改善過動症狀。

潘文涵團隊將調查資料進行路徑分析,數值為正表示兩個變項正相關,數值為負表示兩個變項負相關,最終結果顯示較差的營養生化狀況,的確連結了不健康的飲食型態和過動症。
資料來源│潘文涵
圖說重製│林洵安

「孩童嚴重偏食,喜歡吃油炸物、甜飲料、洋芋片和零食等加工食品,容易導致過敏、發炎和過動。」潘文涵建議所有父母:「平時孩子應該多食用蔬菜、水果、堅果、全榖類、優質蛋白質等食物。」

潘文涵原本是心血管疾病與營養流行病學家,怎麼會想到過動症與過敏、貧血、飲食等有關?原來,她也曾是一位心力交瘁的過動兒母親……

過動症抗戰二十年

潘文涵大兒子在兩歲大,即確診為過動症,之後一路服用利他能 (Ritalin),原本控制尚可,但在十歲左右,症狀卻急轉直下,轉變成會抽搐、點頭、擠眼睛或罵三字經的妥瑞氏症

醫生懷疑是利他能的副作用,換了一次藥後,抽搐卻更加嚴重,再換一次藥,症狀變成脖子左右轉動、 喉嚨發出怪聲等症狀。

潘文涵看著孩子每況愈下,心疼不已,雖然還有其他治療用藥可以一一嘗試,但她不想讓孩子再試藥了,改由改善體質著手。

兒子國一時發現貧血,可是家裡吃的很好,不可能是飲食問題。於是她懷疑兒子從小就有的扁桃腺慢性發炎,導致假性貧血;於是諮詢醫生後拿掉扁桃腺,貧血在短期內痊癒。這讓她思考:兒子的過動難道也跟發炎或貧血有關?

她從兒子慢性發炎的扁桃腺起,首先根治發炎引起之貧血,也開始帶著兒子看中醫、吃松樹皮之類黃酮萃取物,各種方法對症狀確實有不小的改善作用,於是她開始思考是否減緩過動可以從改善體質、服用抗氧化、抗發炎食物下手。

後來又發現,兒子每次感冒吃了藥就會安靜乖巧,她懷疑可能是治療過敏的抗組織胺(antihistamine)的作用。經與醫生商量,有一段時間,她讓兒子每天出門前都吃一顆抗組織胺。果然,孩子一吃藥就能好好上課達數小時,藥效過了再開始過動。她又想:難道過動跟過敏有關?

潘文涵翻閱相關文獻(30年前),在台灣醫學會誌找到一篇文章,以病童數據和一般過敏盛行率比較之無對照研究論文,結論是「妥瑞氏症的小孩過敏比例較高」。還有研究指出:過敏的小孩碰到過敏原刺激時,血清素與組織胺一起會大量分泌,但基線的血清素在過敏期是偏低的,於是過敏造成血清素波動大,是否和過動相關,也可能是一值得探究的問題。

在她試了許多改變體質的生活型態方法後,確實能減經兒子過動症狀,但無法百分之百治癒。兒子也因為過動症,求學之路異常坎坷。但峰迴路轉,兒子大學畢業後就業,因為鼻腔發炎嚴重,自己求醫開刀清除發炎部位,竟意外治癒過動症!

過動症觀念大突破

回想與過動症搏鬥的漫漫長路,潘文涵百感交集。兒子小學時有時不想上學、沒去學校,老師不聞不問;六年級時曾長達半年沒上學,老師還是不聞不問。一直到六年級快結束,老師才打電話來說哪天要舉行畢業典禮,要記得來拿畢業證書。

更別提當父母上班回家,還要面對隨時會情緒爆炸的小孩,經常心理壓力大到瀕臨崩潰!但對於過動兒使用行為管理方法極為困難,感覺事倍功半,傳統研究的過動症危險因子,像遺傳、家族病史或腦傷等,父母也無法改變。

潘文涵從自身經驗提出過動症可能修正因子之探討,發現:貧血、過敏、血清素低確實相關,都是可能用飲食來改善並減緩症狀的,不啻為過動症父母的一大福音。

如果我們把過動症當成單一原因導致的疾病,就容易忽略其他因素。很多孩子可能是擬表型 (phenocopy),根本的病因不同,卻都表現出類似的症狀。

她指出,有些小孩可能是容易過敏、也容易過動的體質,如果能一一找出並排除可能致病的可修正危險因子,就有可能改善過動、減少藥物使用、降低副作用。

「現在常常有人介紹一些過動症小孩的爸媽來找我,我都問孩子有沒有過敏?是否飲食失衡?結果幾乎都有此現象!我會提供這個新方向給他們思考。」潘文涵強烈建議家長除了尋求兒童精神科的幫助,也能注重治療過敏、貧血,注重營養,少吃一些增加致風險食物,多攝取一些有保護作用的食物。

話鋒一轉,潘文涵最後吐露一抹遺憾:「如果當年的我知道這些,早點處理兒子的鼻子發炎問題,他就能少受很多苦,也許可以多讀一點書、變成一個完全不同的人。」她從過來人的經驗得到啟發,執行卓越研究獲得能應用之成果,希望幫助更多過動症家庭走過生命的幽谷。

潘文涵曾是過動兒母親,與過動症搏鬥近二十年。她從自身生命歷程得到啟發,發現過動症狀從治療過敏、吃對食物,就可能會得到改善。
攝影│林洵安

延伸閱讀

本文轉載自中央研究院研之有物,原文為〈過動兒爸媽不哭!治療過敏、吃對食物,可能改善病情〉泛科學為宣傳推廣執行單位

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研之有物│中央研究院
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研之有物,取諧音自「言之有物」,出處為《周易·家人》:「君子以言有物而行有恆」。探索具體研究案例、直擊研究員生活,成為串聯您與中研院的橋梁,通往博大精深的知識世界。 網頁:研之有物 臉書:研之有物@Facebook

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影印紙的巧妙比例!摺摺摺~摺出四角錐──《藝數摺學》
臉譜出版
・2019/10/21 ・2164字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 469 ・五年級

TAAi 2020 25th 人工智慧研討會

  • 作者/李政憲

對應課程:八年級「勾股定理」、九年級「相似形」、「生活中的立體圖形」
需要材料:A4或B4影印紙

為什麼影印紙要設計成這個長寬比例?

  • 你知道生活中常用的影印紙的長寬比例是多少嗎?

請拿起一張影印紙(A4 或 B4 皆可),依照圖 1 和圖 2 的方式摺摺看,就會發現在圖 1 中摺出來的等腰直角三角形的斜邊(圖中虛線),和影印紙的長邊竟然是相等的。

而又由於影印紙的短邊就是等腰直角三角形的一股長,假設短邊長為 1,等腰直角三角形的斜邊長就會是\(\sqrt{2}\),又斜邊與長邊等長,因此影印紙的長邊與短邊的長度比就是 \(\sqrt{2}\):1 了。

圖 1

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圖 2

  • 至於影印紙為什麼要設計成 \(\sqrt{2}\):1 這個比例呢?

其實有個很重要的原因。請不妨再拿一張相同大小的影印紙,對半裁切後將其中一半旋轉 90 度,再與另一張完整影印紙的左上方兩邊對齊,你會發現兩張長方形的對角線恰可連成一直線(如圖 3~4),也就是兩個長方形彼此是相似的(因為兩多邊形相似的條件為:對應角相等,且對應邊成比例)。

若我們假設原紙張的短邊為 1,長邊為 x,則我們可以列出 x:1=1:\(\frac{x}{2}\)的算式,故 \(x^{2}\)=2,便可得出 x=\(\sqrt{2}\) 的結果。

也就是若我們將影印紙沿長邊中點連線對半裁切(或將大小相等的兩張影印紙以長邊拼合)得到的紙張,將與原影印紙的比例相同。

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圖 3

圖 4

如此一來,若我們影印時需要縮小圖形,就只需要將原影印紙作長邊對半裁切,則縮小的影印紙與原影印紙的大小比例相同,原作品大小與影印出來的結果也會彼此相似,放大時也是同樣的道理。

而透過影印紙的巧妙比例,我們可以製作出一些十分有趣的作品。讓我們先從一個簡單的四角錐開始做起吧!

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用影印紙做出四角錐

首先請拿一張影印紙, 如圖 5、6 分別在長短邊各摺出其中點連線後,再摺出長邊中點與原矩形的四個端點的連線,如圖 7、8。

李老師小聲說:「如果想節省空間與紙張,讀者也可將 A4 尺寸的影印紙,應用其 \(\sqrt{2}\):1 的特性,將其裁切為等比例的兩等份或四等份,再進行後續的摺製與組裝。」

圖 5

圖 6

圖 7

圖 8

接下來如圖 9,將最後摺製的四條連線由谷線改為山線,且左右兩交叉點的連線不摺(圖中實線處),即可依山谷線分佈完成如圖 10 的四角錐。

圖 9

圖 10

由於這個作品目前無法定型,建議可以翻至背面,將內縮突起的直角三角形,分別摺製其兩銳角的角平分線(如圖 11、12),即可將圖 10 放於平面時作簡單固定如圖 13,而若要固定得更完整,也可以口紅膠或膠水將中間的鈍角三角形接合面黏貼,就不會有容易移動的情形了。

圖 11

圖 12

圖 13

接下來按照上面方式摺製共六個四角錐,並用膠帶將其對應邊接合如圖 14,即可將六個四角錐翻摺形成一個正立方體如圖 15,且此六個角錐的頂點恰重合於正立方體的中心處。

李老師小聲說:「事實上,圖 14 是其中一種正方體展開圖的組合方式,各位不妨試試與圖 14 不同的其他組合方式,也是很有趣的哦!」

圖 14

圖 15

不曉得各位有沒有覺得很神奇呢?我們以幾張生活中隨手可得的影印紙,幾道簡單的摺痕,就可以完成一個正立方體,這也代表每個角錐恰是正方體體積的六分之一!這是為什麼呢?

  • 為了討論這個問題,我們不妨看一下圖 16。

若將正方體從中心點與八個頂點連線,可將此正方體切割為六個角錐,假設這個正方體的邊長為 1,則可計算出其底部正方形的對角線為 \(\sqrt{2}\),再根據勾股定理,可以算得此正方體最遠的兩頂點間的距離為 \(\sqrt{3}\),也就是此四角錐的稜長為 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 。

圖 16

圖 17

接下來我們再看圖 17 的四角錐展開圖,根據剛剛摺製的過程,長邊的一半即為正方體的邊長=1,應用影印紙的比例,我們可以得知短邊長為 \(\sqrt{2}\),故其稜長(即長邊中點與四個端點連線段長的一半)為 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\),也就是說這麼摺製出來的四角錐就和上面從正方體切割出的角錐稜長相等、底面積也相等囉!

李老師小聲說:「亦可考慮以平行線截等比例線段,求得角錐的高度為正方體邊長的一半來說明。」

——本文摘自泛科學 2019 年 10 月選書《藝數摺學》,2019 年 9 月,臉譜出版

 

 

 

 

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臉譜出版
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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。